Effektivverzinsung von Anleihen und das Newtonverfahren
Welche Rendite erbringt der Kauf der bisher besprochenen Anleihentypen Zerobond und Kuponanleihe? Dieser Frage wollen wir im Weiteren nachgehen. Die Effektivverzinsung enspricht dem internen Zins. Wann gilt also bei dem Investment in die beiden Anleihentypen NPV=0? Beim Zerobond lässt sich das ziemlich schnell und einfach sagen:
Umstellen ergibt:
Daraus folgt:
Die Effektivverzinsung eines dreijährigen Zerobonds entspricht offensichtlich seiner Verzinsung: IZF = z3! Wie sieht es jedoch bei der Kuponanleihe aus?
Die exakte Bestimmung der Effektivverzinsung bei einer Investition in eine Kuponanleihe ist ungemein schwieriger. Schließlich handelt es sich bei einer Laufzeit von T um eine Gleichung T-ten Grades, die es zu lösen gilt. Bei T=2 ist das noch problemlos mit Hilfe der pq-Formel möglich. Bei längerer Laufzeit wird es jedoch erheblich schwieriger. Die exakte analytische Lösung ist jedoch gott sei dank gar nicht notwendig, da es ein numerisches Näherungsverfahren gibt, das ziemlich schnell eine sehr gute Nährerung des IZF liefert: Das Newton-Verfahren bzw. die sogenannte Newtonsche Näherungsformel.
Um eine unnötig aufwändige Notation zu vermeiden, suchen wir nach der Bruttoeffektivverzinsung q=1+IZF. Der iterative Ablauf ist dann der Folgende: Als erstes wird ein beliebiger Bruttozinssatz angenommen q1 und der dazugehörige Kapitalwert NPV(q1) bestimmt. Dabei ist es wichtig, dass die Kapitalwertfunktion an der betreffenden Stelle keinen Maximalwert hat, da im Weitern mit der Ableitung der Kapitalwertfunktion weitergerechnet wird. Um den nächsten Schätzer für den internen Bruttozinssatz zu finden, wird nämlich nun die Tangente an die Kapitalwertfunktion an der Stelle q1 gelegt. Diese Gerade geht durch den Punkt [q1/NPV(q1)] und schneidet die X-Achse bei dem nächsten Schätzwert q2 für die Bruttoverzinsung. Wie kann dieses q2 berechnet werden? Das ist relativ einfach, da die Steigung der Tangenten auf zwei Arten berechnet werden kann. Zum einen ist die Steigung der Tagente ja gerade die Ableitung NPV'(q1) der Kapitalwertfunktion an der Stelle q1. Zum anderen wird sie außerdem durch das Steigungsdreieck also das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete beschrieben. Die Gegenkathete hat die Länge -NPV(q1) und die Ankathete hat die Länge q2-q1. Es gilt also:
Umstellen nach dem gesuchten nächsten Schätzer für die Bruttoeffektivverzinsung q2 ergibt:
Falls NPV(q2) noch nicht gleich Null sein sollte, geht das Spiel wieder von vorne los, um den nächsten Schätzer zu bestimmen.
Im Weiteren will ich das Newtonverfahren einsetzen, um die Effektiverzinsung einer Investition in die oben beschriebene Kuponanleihe zu ermitteln. Als ersten Schätzer nehme ich q=1,05 an. Es ergibt sich an dieser Stelle ein Kapitalwert von:
Der gesuchte interne Zinssatz ist also noch nicht gefunden! Deshalb muss nun der nächste Schätzer q2 bestimmt werden. Dazu wird zunächst die Ableitung der Kapitalwert-Funktion bestimmt:
Die Kapitalwertableitung hat folglich an der STelle q1=1,05 den Wert:
Damit ergibt sich für den zweiten Durchlauf ein Schätzwert für die Bruttoverzinsung der Kuponanleihe von:
Der sich ergebende Kapitalwert ist schon sehr klein:
Die Ableitung der Kapitalwertfunktion ergibt sich zu:
Wir sind schon sehr nah am Ziel unserer Träme angelangt! Der nächste Schätzer q3 ergibt sich zu:
Zu diesem Bruttozins ergibt sich ein Kapitalwert von Null. Die Effektivverzinsung entspricht also der Kuponzins! Wir hatte jedoch weiter oben ausgerechnet, dass bei der beschriebenen Zinsstruktur (8%, 9%, 10%) sich ein Marktpreis der Kuponanleihe oberhalb des Nominalbetrages einstellen müsste in Höhe von 100,32 €. Wenn man nun die Kuponanleihe zu diesem Preis kauft, dann entspricht die Effektivverzinsung dieser Investition genau den weiter oben bestimmten 9,87 %.
Auf Wikipedia findet sich zum Newton-Verfahren eine - wie ich finde - sehr anschauliche Darstellung. (Sie wurde von Ralf Pfeiffer erstellt und unterliegt der GNU-FDL. Damit ist gemeint, dass der Autor dazu ermuntert sein Werk zu vervielfältigen, was ich hiermit tue!):
Kupon- und Zerobondanleihen | Der Baldwin-Zins 