Der Fall mit zwei Aktien
Wir nehmen an, dass sich in unserem Portfolio lediglich zwei Aktien befinden, von denen keine die jeweils andere dominiert. Damit ist gemeint, dass keine Aktie bei den beiden hier betrachteten Parametern Risiko und Rendite jeweils besser als die andere Aktie ist. Die erwartete Rendite des Portfolios ergibt sich, falls x1 der wertmäßige Anteil der ersten Aktie und (1-x1) der Anteil der zweiten Aktie ist, zu:
Die erwartete Portfoliorendite kann man auch etwas eleganter schreiben:
μp = μ2 + x1·(μ1-μ2)
Gerade wenn man später im Rahmen der Tobin-Separation auf der Suche nach der optimalen Portfoliozusammenstellung aus riskantem Tangentialportfolio und sicherer Anlage ist, ist die letzte Formulierung für die Rechnung ganz praktisch. Aber zurück: Wir können die Gleichung nach x umformen und erhalten:
Der Term unter der Wurzel kann mithilfe der ersten bionomischen Formel vereinfacht werden zu:
Wir stellen so um, dass alle Terme mit x1 zusammengefasst werden können:
Wenn wir den so umgeformten Anteil x1 in die Formel für die Standardabweichung des Portfolios einsetzen, erhalten wir:
Die letzte Gleichung können wir etwas anschaulicher schreiben:
Man erkennt leicht, dass die Standardabweichung des Portfolios linear von der erwarteten Rendite des Portfolios abhängt. Die Steigung beträgt gerade:
Für ρ=-1 folgt für die Standardabweichung des zwei Aktienportfolios:
Die Wurzel können wir mithilfe der zweiten binomischen Formel vereinfachen:
Wir erhalten:
Umstellen ergibt:
Ich schreibe nun die letzte Gleichung etwas anders:
im Bereich von
ist die Steigerung der Geraden negativ. Danach wird sie aufgrund der Betragsbetrachtung positiv. In der folgenden Darstellung entspricht Aktie 1 dem Wertpapier B und Aktie 2 dem Wertpapier A. Folgerichtig entspricht das in der Abbildung dargestellte x1 unserem x2. Bei Gelegenheit werde ich die Abbildung noch überarbeiten.
Diversifikation bei unkorrelierten Aktienrenditen
Was passiert im Fall vollkommen unkorrelierter Aktienrenditen? Ist es auch für ρ=0 möglich, das Risiko des Portfolios aus den beiden Aktien 1 und 2 unter das Risiko des weniger riskanten Wertpapiers zu senken? Mit der Beantwortung dieser Frage wollen wir uns im Folgenden beschäftigen!
Vielleicht ist es dafür zunächst sinnvoll, ganz allgemein den wertmäßigen Anteil x des Wertpapier 1 am varianzminimalen Portfolio zu bestimmen. Zu diesem Zweck stellen wir zunächst die Formel für die Varianz des Portfolios auf. Den wertmäßigen Anteil des zweiten Wertpapiers drücken wir dabei mit x aus: x2=1-x. Die Formel für die Portfoliovarianz ist dann:
Damit die Ableitung nach x etwas leichter von der Hand geht, schreiben wir diesen Ausdruck etwas um und erhalten:
Diese allgemeine Formel für die Varianz des 2-Aktien-Portfolios leiten wir nach x ab und setzen die Ableitung gleich Null, da wir ja auf der Suche nach dem Minimum-Varianz-Portfolio sind:
Auf beiden Seiten wird durch 2 geteilt. Durch Zusammenfassen erhalten wir dann:
Wenn wir diese Gleichung nun nach x umstellen, erhalten wir eine allgemeingültige Formel für den Anteil x der Aktie 1 am varianzminimalen Portfolio:
Die letzte Formel ist meiner Ansicht nach sehr gut merkbar, denn sie zeichnet sich durch eine schöne Symmetrie aus. Mit Hilfe dieser Formel lässt sich das Gewicht der Aktie 1 im varianzminimalen Portfolio aus 2 Aktien direkt bestimmen. Das Portfolio könnte übrigens statt aus 2 Aktien ebenso gut aus 2 Portfolios bestehen. Aber das nur am Rande.
Mit Hilfe der Formel für x können wir jetzt eine Aussage über das varianzminimale Portfolio im Fall ρ=0 treffen! Und zwar liegt in diesem Fall das x zwischen 0 und 1. Wir können also bei vollkommen unkorrelierten Aktien das Risiko des Portfolios unter die kleinste Standardabweichung der im Portfolio enthaltenen Aktien drücken, ohne auf Leerverkäufe einer der beiden Aktien zurückgreifen zu müssen! Das erkennt man, wenn man in die Formel für das varianzminimale x den Korrelationskoeffizienten von Null einsetzt:
Der 2 Aktien-Fall mit sicherer Anlage
Im Rahmen der Tobin-Separation wird angenommen, dass es ein sicheres Wertpapier gibt. Das würde bedeuten, dass seine Rendite nicht mit den Aktienrenditen der anderen Wertpapiere korreliert ist und dass die Standardabweichung des sicheren Wertpapiers Null beträgt. Wie sieht nun der Risiko-Rendite-Zusammenhang für ein 2-Wertpapier-Portfolio aus, wenn eines der Wertpapiere sicher ist?
Ich treffe die Annahme, dass das Wertpapier 2 sicher und das Wertpapier 1 unsicher ist. Dann ergibt sich die erwartete Rendite eines Portfolios, aus x1 WePa 1 und (1-x1) WePa 2 zu:
Umformen ergibt:
Die Streuung des Portfolios ist dann:
Es handelt sich also um eine lineare Funktion des Anteils x1. Wenn wir den Anteil des unsicheren Wertpapiers mit Hilfe der erwarteten Rendite des Portfolios ausdrücken, erhalten wir:
Die Standardabweichung des Portfolios ist also auch eine lineare Funktion der erwarteten Rendite des Portfolios, wie man an der nächsten Formel vielleicht noch besser erkennt:
