Ein- und Mehrfaktormodelle

Die Berechnung der Zusammenstellung des supereffizienten Portfolios ist delegierbar. Schließlich sollte im Gleichgewicht die Zusammensetzung für alle Marktteilnehmer die gleiche sein. Sie ist unabhängig vom Anlagevolumen und der individuellen Risikopräferenz. Letztere hat nur Einfluss auf das Mischungsverhältnis von risikoloser Anlage und dem supereffizienten Portfolio. Allerdings bedarf die genauer Zusammenstellung des SEP eines sehr großen Schätzaufwandes.

Das kann man sich anhand eines kurzen Zahlenbeispiels verdeutlichen: Bei 100 Wertpapieren ist es bereits nötig, 5150 Parameter für die Zukunft zu schätzen:

100 erwartete Renditen

100 Varianzen und

0,5· 100 · (100-1) = 4.950 Kovarianzen

Das ist eine sehr umfangreiche Aufgabe, die man besser jemanden überlassen sollte, der über die entsprechende Rechenpower verfügt.

Als mögliche Vereinfachung bietet es sich an, die erwartete Rendite der Wertpapiere mithilfe so genannter Single- beziehungsweise Multifaktormodelle zu schätzen. Ein bekanntes Single-Index Modell ist beispielsweise das CAPM. Der eine Faktor, auf den die erwartete Rendite zurückgeführt wird, ist das wohl bekannte Beta. Leider liefert das CAPM in der Empirie keine besonders guten Schätzwerte für die zukünftigen Aktienrenditen. Vor diesem Hintergrund erstaunt es sehr, wie erfolgreich das Modell ist. 70% der größten amerikanischen Aktiengesellschaften bedienen sich des CAPMs, um ihre Eigenkapitalkosten zu schätzen. Denn die erwartete Rendite des Kapitalmarktes ist aus Sicht des Unternehmens gleichbedeutend mit seinen Eigenkapitalkosten. Das CAPM und Erweiterungen des CAPMs, wie zum Beispiel das Tax CAPM, werden auch in Rechnungslegungsstandards zur Unternehmensbewertung empfohlen.

Ein Multifaktormodell, das empirisch zwar relativ gute Prognosen liefert, dafür aber theoretisch nicht ganz sauber fundiert ist, ist das Dreifaktorenmodellen von French und Fama.

Mit Hilfe eines Single-Index Modells kann man auch die Kovarianz-Varianz-Matrix schätzen. Als erstes muss dafür die Annahme getroffen werden, dass man die Rendite eines Wertpapieres i mit Hilfe einer linearen Regression auf die Marktrendite r_m erklären kann.

Wenn es möglich ist, die Rendite des Wertpapieres mit Hilfe dieses einen Risikofaktors zu erklären, dann ergibt sich die erwartete Rendite des Wertpapieres zu:

Außerdem kann man jetzt, die Kovarianz zwischen 2 Wertpapieren i und j mit Hilfe der Streuung der Marktrendite und den Betafaktoren der beiden Wertpapiere bestimmen. Um das zu zeigen, bediene ich mich zunächst der Definitionsgleichung für die Kovarianz:

Einsetzen der Formel für die erwarteten Renditen der beiden Wertpapiere ergibt:

 

 

Literaturverzeichnis