Lower Partial Moments

Die allgemeine Formel für das LPM n-ter Ordnung lautet:

Der Parameter z steht für einen kritischen Schwellenwert, dessen Unterschreitung unangenehm für uns ist, weil wir dann beispielsweise einen Verlust erleiden. In diesem Fall wäre z gerade die Schranke für einen Gewinn von null. Die Zufallszahl x könnte beispielsweise der Deckungsbeitrag sein und z die fixen Kosten. Alternativ könnte z die von uns benötigte minimale Rendite sein. Die Zufallszahl x wäre dann die tatsächliche Rendite und f(x) ihre Dichte. Das LPM 0-ter Ordnung ist nicht anderes als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Rendite x unterhalb der geforderten Mindestrendite z liegt.

Wenn wir uns an unser Beispiel von weiter oben erinnern, stellen wir fest, dass das LPM vergleichbar dem Signifikanzniveau beim VaR ist, wenn z=VaR gilt. Folgerichtig führen diese beiden Kriterien an der Stelle z=VaR zum selben kritischen Wert und damit zur gleichen Entscheidung. Das LPM 1-ter Ordnung gibt den "erwarteten Verlust" an:

Hier muss man einem Missverständnis vorbeugen. Denn wenn das LPM erster Ordnung positiv ist, bedeutet dies noch lange nicht, dass wir insgesamt einen Verlust erwarten. Aus diesem Grunde habe ich den "erwarteten Verlust" in Anführungszeichen gesetzt! Dazu ein Beispiel: Den erwarteten Nettogewinn E[x-z] erhalten wir, indem wir vom erwarteten Positivgewinn den erwarteten Verlust subtrahieren:

Eine sehr einfache stetige Verteilung für x ist die Gleichverteilung. Nehmen wir an, dass x im Intervall von 0 bis 10 gleichverteilt ist. Die Verlustschranke liegt bei z=3, so dass der Erwartungswert von x gerade 5 und der erwartete Nettogewinn E[x-z]=2 beträgt. Mit diesen Werten ergibt sich ein LPM erster Ordnung von:

Der erwartete Nettogewinn beträgt:

Der erwartete Positivgewinn ist:

Wenn wir nun vom erwarteten Positivgewinn das LPM erster Ordnung subtrahieren, erhalten wir für den erwarteten Nettogewinn: E[x-z]=2,45-0,45=2. Eine alternative Möglichkeit, den erwarteten Nettogewinn in unserem Beispiel zu bestimmen, ist die folgende:

Hier haben wir den bedingten erwarteten Verlust mit der Wahrscheinlichkeit des Verlustes gewichtet und dazu den bedingten erwarteten Gewinn addiert, den wir mit der Gewinnwahrscheinlichkeit gewichtet haben. Die Wahrscheinlichkeit eines Verlustes beträgt:

Bestimmt ist euch aufgefallen, dass es sich hierbei um das LPM 0-ter Ordnung handelt! Der bedingte Erwartungswert im Verlustfall ist:

Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt:

Im Fall des Gewinnes ergibt sich ein bedingter Erwartungswert von:

Damit haben wir jetzt alles zusammen, was wir benötigen, um den erwarteten Nettogewinn mithilfe des LPM erster Ordnung zu berechnen:

Offensichtlich gibt das LPM erster Ordnung die Differenz zwischen dem unter der Bedingung, dass ein Gewinn eintritt, erwarteten Gewinn und dem kleineren (!) unbedingten Erwartungswert des Gewinnes an:

Das LPM zweiter Ordnung wird auch Ausfallvarianz genannt. Falls der kritische Wert z gleich dem Erwartungswert der Verteilung ist, entspricht das LPM zweiter Ordnung der Semivarianz!