Der Wiener-Prozess

Der aus Schottland stammende Botaniker Robert Brown (1773 - 1858) stellte im Jahre 1827 fest, dass Pollen in einem Wassertropfen merkwürdig zuckende Bewegungen machen. Ihm zu Ehren wurde diese zufällige Eigenbewegung von Teilchen Brownsche Bewegung genannt. Sie ist auf die zufällige Kollisionen der Pollen mit den thermisch bewegten Wassermolekülen zurückzuführen. Erst im Jahr 1923 konnte der Amerikaner Norbert Wiener die zufällige Irrfahrt der Teilchen im Wassertropfen mathematisch modellieren. Ihre Bewegung folgt - bezogen sowohl auf die X- als auch auf die Y-Achse - einem nach Norbert Wiener benannten Zufallsprozess: Dem Wiener Prozess.

Um sich die Eigenschaften des Wiener-Prozesses zu verdeutlichen, genügt es, nur eine Koordinatenachse zu betrachten. Der Wiener Prozess beschreibt die Position des Teilchens auf der betrachteten Achse in Abhängigkeit von der Zeit t. Als Startpunkt legen wir die Koordinate w₀=0 auf der X-Achse fest. Die Differenz w_t – w_s ist eine normalverteilte Zufallsgröße mit einen Erwartungswert von null und einer Varianz von t-s:

Das bedeutet, dass, wenn s=0 und t=1 ist, die Position des Teilchens bezogen auf die X- Achse einer Standardnormalverteilung folgt. Die Änderung der Position nennt man "Zuwachs". Der Zuwachs kann sowohl positiv als auch negativ sein. Für jedes Zeitintervall der Länge t ist er eine normalverteilte Größe mit einem Erwartungswert von null und einer Varianz von t. Die Änderung der Position des Teilchens ist unabhängig davon, wo sich das Teilchen befindet. Man kann nur sagen, dass es sich Δt später mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5% im Intervall