Das Binomialmodell
Bisher haben wir uns den Optionspreis bei nur zwei denkbaren Aktienkursen am Laufzeitende der Option angeschaut. Der Aktienkurs folgte - wie es im Statistiker Deutsch so schön heißt - einer Bernoulli-Verteilung. Das mit den 2 möglichen Aktienkursen am Laufzeitende der Option ist natürlich ein wenig dürftig, um damit die Realität angemessen zu approximieren. Erfreulicherweise kann das 2-Zustandsmodell sinnvoll erweitert werden, so dass man zum Binomialmodell gelangt.
Im Zeitpunkt t=0 ist der Aktienkurs gerade S0. Ich werde hier im Weiteren T=3 und n=3 setzen. Zu jedem Zeitpunkt kann der Aktienkurs entweder um den Faktor u (für up) steigen oder mit dem Faktor d (für down) fallen. Um sicher zu gehen, dass kein "Free Lunch" erzielbar ist und auf den Kapitalmärkten Arbitragefreiheit herrscht, muss der Down-Faktor d kleiner als der risikolose Zins r sein: d < r < u!
In der folgenden Abbildung ist der vollständige Binomialbaum mit allen möglichen Aktienkursen zu den Zeitpunkten t=0, 1, 2 und 3 dargestellt:
In der Tabelle rechts sieht man die möglichen Aktienkurse in T und ihre jeweilige Eintrittswahrscheinlichkeit. Die Eintrittswahrscheinlichkeiten müssen in Summe 1 ergeben! Denn einer der vier Kurse wird sich am Ende der Optionslaufzeit in T einstellen.
Da es bei jeder "Ziehung" immer nur zwei mögliche Ausgänge gibt, die - wie wir annehmen - auch noch unabhängig voneinander sein sollen, ähnelt das Ganze ein wenig dem wiederholten Münzwurf! Wir erinnern uns an unsere Schulzeit bzw. den Statistik-Unterricht im Grundstudium und erkennen, dass der Aktienkurs ST in T einer Binomialverteilung folgt. Es gilt:
Diese Wahrscheinlichkeit entspricht der Wahrscheinlichkeit, die wir weiter oben im Binomialbaum "per Hand" ausgerechnet hatten!
Jetzt verfügen wir über das nötige Rüstzeug, um uns die Optionspreisentwicklung entlang des Binomialbaumes anzuschauen. Am Besten machen wir das anhand eines Zahlenbeispiels! Betrachtet werden soll ein Call mit einem Strike von 102 Euro. Der aktuelle Aktienkurs beträgt 100 Euro, folglich ist die Option in t=0 aus dem Geld. Es werden n=3 Subperioden betrachtet und es gilt: u=1,10 - r=1,01 - d=0,95. Zum Ausübungszeitpunkt entspricht der Optionswert seinem inneren Wert!
Der Ausschnitt des Binomialbaumes ist nichts anderes als ein kleines 2-Zeitpunkts-2-Zustands-Modell. Mit dem weiter oben erarbeiteten Wissen können wir nun den Optionswert in diesem Knoten bestimmen. Falls das No-Arbitrage-Prinzip erfüllt ist, kann man die Rückflüsse der Option mit Hilfe von
Aktien und einer Kreditaufnahme in Höhe von:
replizieren. Der Call im Knoten muß den gleichen Preis wie dieses Äquivalenzportfolio haben.
Wenn ich die risikolosen Wahrscheinlichkeiten einsetzte, sieht der Term folgendermaßen aus:
Wir können c2 folgendermaßen berechnen:
Die risikolose Wahrscheinlichkeit für den Up-Zustand beträgt:
und für den Down-Zustand folglich:
Wir können mit den risikolosen Wahrscheinlichkeiten c2 ebenfalls elegant berechnen:
Jetzt weißt Du alles, was Du wissen musst, um den Binomialbaum komplett auszufüllen! Hier meine Lösung:
Es ergibt sich in t=0 ein Callpreis von 5,55 Euro! Da der innere Wert null ist, besteht der Optionswert nur aus dem Zeitwert! Außerdem liegt der Wert der Option in t=0 noch ca. 4,50 über der unteren Preisschranke für europäische und amerikanische Calls: Max[0;100-102/1,013]=0,9998.
Wir fangen wieder rechts oben an:
und arbeiten uns dann weiter vor:
Jetzt können wir c0 bestimmen:
Nun müssen cu und cd eingesetzt werden:
Um das Ganze zu vereinfachen, klammere ich den Bruch mit dem risikolosen Zins aus und fasse die übrigen Terme zusammen:
Jeder mögliche Endwert der Option (im Beispiel sind es: cuu, cud und cdd) wird mit der durch die Binomialverteilung für diesen Optionswert bestimmten Wahrscheinlichkeit gewichtet! Dazu werden die risikolosen Wahrscheinlichkeiten verwendet! Die mit ihrer Wahrscheinlichkeit gewichteten Endwerte werden summiert, so dass man eine auf den risikolosen Wahrscheinlichkeiten basierenden Erwartungswert erhält. Der auf diesem Wege bestimmte Erwartungswert wird mit dem sicheren Bruttozins über die n Perioden diskontiert! Die Binomialverteilung liefert beispielsweise für eine Aufwärts- und eine Abwärtsbewegung die risikolosen Wahrscheinlichkeit von 2q*·p*. Mit dieser Wahrscheinlichkeit wird der Callpreis cud gewichtet. Für zwei Abwärtsbewegung liefert die Binomialverteilung q*2=(1-p*)2. Damit wird bei der "Erwartungswertbildung" cdd gewichtet, etc..
Wir suchen nun den kritischen Wert a für die benötigte Anzahl von Aufwärtsbewegungen, ab der der Endwert des Underlying zum Ausübungszeitpunkt T tatsächlich größer als der Ausübungspreis E ist:
Auflösen nach dem kritischen Wert a ergibt:
< a gilt, in T NICHTS wert sind, brauchen wir sie bei der Erwartungswertbildung nicht zu berücksichtigen. Wir summieren daher nur noch von k=a bis zur Anzahl der Subperioden n auf:
Bei dem linken Term ziehen wir den Diskontierungsfaktor in die Summe! Dabei bedienen wir uns des kleinen "Rechentricks", dass folgender Zusammenhang gilt:
Die neuen Klammerterme in der Klammer vor S nennt man Pseudo-Wahrscheinlichkeiten. Ich schreibe für sie: 
und
Ihre Summe ist 1. Das könnt ihr ja mal nachrechnen! Es gilt dabei d
E - Ausübungspreis
n - Anzahl der Perioden
c - Wert des Calls
S0 - Aktienkurs in t=0
a - Anzahl der Aufwärtsbewegungen, die mindestens notwendig sind, damit der Call im Geld ist.
Insgesamt ergibt sich der Optionswert als Differenz zwischen dem irgendwie gewichteten aktuellen Aktienkurs und dem auch irgendwie gewichteten sowie mit dem risikolosen Zins diskontierten Ausübungspreis. Das ist ja nicht wirklich überraschend oder? Der aktuelle Aktienkurs wird mit der Wahrscheinlichkeit dafür gewichtet, dass zum Ausübungszeitpunkt der Aktienkurs größer als der Ausübungspreis ist, wenn die Pseudowahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeit für eine Aufwärtsbewegung um den Faktor u entspricht! Beim zweiten Term wiederholt sich dieses Spiel. Nur dieses Mal mit den risikolosen Wahrscheinlichkeiten statt mit den Pseudowahrscheinlichkeiten. Der mit dem risikolosen Zins diskontierte Ausübungspreis, beziehungsweise Strike, wird mit der risikolosen Wahrscheinlichkeit dafür gewichtet, dass ebenfalls zum Ausübungszeitpunkt gilt, dass der Aktienkurs über dem Strike liegt. Nur diesmal unter der Voraussetzung, dass in jeder Subperiode die Aufwärtsbewegung u mit p* und die Abwärtsbewegung d mit der entsprechenden Gegenwahrscheinlichkeit auftritt.
Mit unserer Allzweckwaffe, der Put-Call-Parität, können wir relativ schnell anhand der Bewertungsformeln für den Call auch eine Formel für den Wert des europäischen Puts aufstellen. Mit
ergibt sich:
Man beachte, dass die Summen jetzt nicht von a bis n, sondern von 0 bis a-1 laufen! Schließlich ist der Put nur dann etwas wert, wenn der Kurs des Underlying unterhalb des Ausübungspreises liegt!
Bernoulli-Verteilung | Das Black und Scholes Modell 