Entscheidung bei Risiko

In der Regel weiß man bei Investitionen vorher nicht mit Sicherheit, wie hoch die Rückflüsse sein werden. Es herrscht viel mehr Unsicherheit über selbige. Entsprechend unsicher sind natürlich auch die Renditen. An dieser Stelle stellt sich die Frage, ob die Methoden der Investitionsrechnung, die Sie im Grundstudium kennen gelernt haben, auch bei Unsicherheit angewandt werden können. Überraschenderweise lautet die Antwort: Ja, mit einigen kleineren Anpassungen.

Beginnen wir zunächst mit der Klarstellung einiger Begriffe: Wir untersuchen hier die Entscheidungssituation eines Investors bei Risiko. Damit ist gemeint, dass unsichere Rückflüsse um einen Erwartungswert nach oben und nach unten streuen können. Unser Risikobegriff umfasst also sowohl eine Chance als auch ein Risiko im umgangssprachlichen Sinne. Wenn normalerweise von Risiko die Rede ist, bezieht man sich meist auf das so genannte "Down Side Risk" - also das Risiko, dass der Erwartungswert beziehungsweise ein kritischer Wert unterschritten wird.

Wenn wir hier von einer "Situation unter Risiko" sprechen, dann meinen wir damit, dass zwar die Rückflüsse unsicher sind, ihre Verteilung jedoch bekannt ist! Im Grundstudium wird in der Regel Sicherheit unterstellt. So gibt es zum Beispiel häufig nur eine denkbare zukünftige Zahlungsreihe, deren Barwert man leicht durch Diskontieren bestimmen kann. Im wahren Leben ist hingegen so gut wie gar nichts sicher - mit Ausnahme des Todes - und selbst da besteht ja noch Hoffnung!

Wenn man großen Staaten mit exzellenter Bonität - wie zum Beispiel Deutschland oder den USA - kurzfristig Geld leiht, dann ist die Rückzahlung dieses Kredites so gut wie sicher. Tatsächlich ist sie nicht wirklich vollkommen sicher, da durchaus Szenarien denkbar sind, die dazu führen würden, dass auch Länder wie Deutschland oder die USA ausfallen. Wenn man jedoch dieses sehr unwahrscheinliche Szenario vernachlässigt, erhalten wir eine Situation, die man als Quasi-Sicherheit bezeichnet: Es sind zwar grundsätzlich mehrere Ausprägungen denkbar, wir betrachten jedoch nur eine.

Eine wichtige Erweiterung der weiter unten thematisierten Portfoliotheorie von Markowitz, die Tobin – Separation, geht davon aus, dass mindestens ein Wertpapier existiert, dessen Rendite nicht um einen Erwartungswert streut, sondern sicher ist. Es weist also ein Risiko von Null auf. Eine solche Annahme ist kritisch zu sehen. Denn selbst deutsche Staatsanleihen sind nur „so gut wie“ sicher. Diese Tatsache wird jedoch geflissentlich ignoriert und nur ein Szenario, nämlich dass Deutschland seine Schulden vollständig begleicht, berücksichtigt. Das nennt man Quasi -Sicherheit. Liegen gar keine Informationen über die Entwicklung zukünftiger Zahlungen vor, spricht man von Ungewissheit. Die Bewertung einer solchen Zahlung und der dazu gehörige Entscheidungsprozess ist ungemein schwierig, wenn nicht sogar unmöglich. Aus diesem Grund wollen wir uns im Weiteren nur mit qualifizierten Entscheidungen beschäftigen, bei denen dem Entscheider zumindest die Verteilung der unsicheren Ergebnisgröße bekannt ist: Es wird eine Situation unter Risiko betrachtet. Wie viel eine riskante Zahlung einem Investor wert ist, hängt letztlich von seiner subjektiven Risikopräferenz ab. Diese Risikopräferenz wird mithilfe von Nutzenfunktionen modelliert. Nehmen wir zum Beispiel die folgende Nutzenfunktion an:

U = ln (x)

Sie ergibt für jede Ausprägung der unsicheren Zielgröße x einen bestimmten Nutzenwert. Um nun eine Entscheidung unter Risiko zu treffen, gibt es eine Entscheidungsregel, die man als "Bernoulli-Prinzip" bezeichnet. Sie lautet: Maximiere den erwarteten Nutzen! Angenommen es stehen zwei sich ausschließende Investitionsobjekte zur Auswahl, deren Anfangsinvestitionen identisch und deren Rückflüsse zustandsabhängig sind. Die folgende Tabelle gibt die Höhe der Rückflüsse und die Eintrittswahrscheinlichkeiten der jeweiligen Zustände wieder: Um den erwarteten Nutzen zu bestimmen, errechnet man den Nutzen jeder merklichen Ausprägung, gewichtet ihn mit der Eintritts-Wahrscheinlichkeit und summiert über alle Zustände auf:

Projekt A: E(U) = 0,5·ln (100) + 0,2· ln(20) + 0,3 · ln(10) = 3,592

Projekt B: E(U) = 0,5·ln (80) + 0,2· ln(150) + 0,3 · ln(200) = 4,78

Wir entscheiden uns für B. Interessanterweise würden wir uns auch, wenn wir eine Nutzenfunktionen in der Form

U(x) = 15 + 22 · ln(x)

hätten, für B entscheiden. Das liegt an der linearen Transformierbarkeit der Nutzenfunktionen. Andere Transformationen würden dazu führen, dass die Entscheidung an Hand der transformierten Nutzenfunktionen nicht mehr äquivalent zur Entscheidung an Hand der Ausgangsnutzenfunktion ist. Machen wir uns das an Hand der Ausgangs Nutzenfunktion klar. Es soll gezeigt werden, dass eine Entscheidung an Hand des Bernoulli-Prinzips auf Basis der Nutzenfunktion zum selben Ergebnis führt.

N: Anzahl der Zustände

q_n Wahrscheinlichkeit des Zustandes n

x_n Ausprägung im Zustand n von Projekt A bzw. B

Wir multiplizieren auf beiden Seiten mit Beta. Da Beta positiv ist, ändert sich an der Ungleichung nichts. Außerdem addieren wir noch den Betrag α hinzu, was für die Ungleichung ebenfalls absolut unkritisch ist.

Jetzt machen wir uns den Umstand zu Nutze, dass die Summe aller Eintrittswahrscheinlichkeiten gleich eins ist:

Das formen wir um und erhalten:

Die letzte Zeile belegt, dass auch die transformierten Nutzenfunktionen bei Entscheidungen an Hand des Bernoulliprinzips zum selben Ergebnis führen würden.

Risikoaversion und Risikoprämien | Maße der Risikoaversion

Literaturverzeichnis

+ Finanzierung und Investition

(Lutz Kruschwitz, 2007, Oldenbourg, 86-88)

+ Finanzwirtschaft der Unternehmung

(Perridon/ Steiner, 2007, Vahlen, 113-116)